[기구학⑤-기구기구하고울어요]점의 궤적과 곡률

점의 궤적과 곡률

2013년 1월 24일 목요일

오전 8:03

한참 열심히 썻는데 갑자기 onenote 동기화가 하늘로 승천하시더니 영영 오시지 않으시고 자꾸 원노트가 깨져서 다시 쓰는 포스팅 입니다ㅠㅠ. 여러분 동기화 좋다고 너무 남발 하지마세요 ㅠㅠ

이러한 에러가 제 열정을 깍아먹는 와중에 갤노트 2님을 노예계약과 함께 뫼시게 되어 그 값어치를 활용하기 위하여 열심히 달려볼게요 ㅠㅠ.

(다시 말씀 드리지만 전체 "기구학" 포스팅의 많은 부분에서 단국대학교 기계공학과 김태정교수님의 필기 노트를 참조함을 알려드리며, 전체 내용이나 계산등은 제가 자체 생산하므로 내용중 오류가 있는 부분은 100% 저의 잘못임을 알려드립니다. (꿈에서 교수님께 혼나는 꿈을 꿈)

   

   

기구를 설계하는데 있어서 기구의 어떤 지점의 회전 반경은 가끔 중요합니다.

   

어떤 지점이 회전 하는 형태에 대해서 기술 할수 없다면 조금 곤란해 지겠지요.

   

   

   

또 동역학적으로 매우! 중요합니다.

원운동하는 물체의 원심력이라던지

   

포뮬러에서 차량이 코스를 통과하는데 필요한 최소 회전 반경 같은 문제들이

   

널리고 널려 있습니다.

사진 출처: http://www.mirror.co.uk

   

   

   

곡률 이란 여러가지 의미를 가지는데 (평면의 곡률, 평면에서 곡률 등)

평면의 곡률역시 여러 분야에서 활용되지만 (3d-probe 혹은 milling tool의 적절한 반경선정등)

저는 평면에 대해서만 생각해 보겠습니다.

   

평면 상 곡률이란 "곡선이 휜 정도" 라고 볼수 있겠습니다.

직관적으로 생각할때 너무도 명료하게 어떤 곡선의 곡률이 큰지 알아 낼수 있습니다.

   

곡률을 이야기하면 항상 관련되서 등장하는 곡률반경이라는 말이 있습니다.

"원의 곡률반경은 원의 반지름이다."

"자동차의 회전반경이 작아지면 횡방향 가속도가 커진다."

같이 흔히들(?) 사용하는 단어 이기도 합니다.

이는 "어떤 곡선의 안쪽에 들어갈수있는 원의 최소 반지름" 이라는 의미를 가집니다.

이렇게 표현 할 수 도 있습니다. 사실 "정의에 의한 수치" 를 비교하면

그 크기가

   

입니다.

   

곡률을 구하는 방법에 대해서 정리해보고 그리고 곡률의 정의에 따라 곡률이 곡률반경의 역수임을 확인해 보겠습니다.

   

   

이전 포스팅에서 "점의 위치, 속도, 가속도를 시간 t 에대하여 x,y평면에 표현"

하는 내용을 언급하였습니다.

   

그러나 속도나 가속도의 시간에 대한 식만으로는 곡률이 어떠하다 라고 말하기가

지금은 힘듭니다. 그래서 다시 점의 궤적에 대해서 정리할 필요가 잇습니다.

   

이제 운동하는 점이 어느 궤적을 따라가며, 그 위치를

s 에 대한 함수로 표현 하고 그 속도와 가속도를 s에 대해서 표현 해보겠습니다.

   

먼저 r(t) 점의 위치 에서 시작하고 그시간 t에서의 점의 진행거리 s에 대해서

다시 r(s)를 표현하면

이렇게 표현 할수 있겟습니다.

   

경로를 따라 진행하는 점의 속도를 표현 하는데 있어서 매개 변수가 바뀌었으므로 저렇게 표현하는 것은 엄밀히 말하자면 부적절 하지만 위치와 속도의 의미를 가진다는 뜻으로 위치와 그 미분값(속도) 를 r과 v로 표현 하였습니다.

   

어쨌든 경로를 진행하는 점의 속도를 진행한 거리 s에 대해서 표현하면

즉 위에서 표현 함과 같이 나오는데

ds/dt 부분은 그 크기를 나타내고 dr/ds(bold체는 벡터임에 유의)

는 접선의 방향을 나타내는 단위벡터(unit tangent vector) 입니다. (단위벡터는 크기가 1이고, 방향만 나타내는 벡터입니다.)

   

그렇다면 진행방향에 수직한 즉 "곡선이 휜 정도" 를 의미 하게될 곡률은

S가 진행함에 따라 접선단위벡터(unit tangent vector)가 변하는 정도 로 생각 할수 있겠습니다.

   

이를 그려보면

이렇게 표현 가능할 것입니다. 여기서 N벡터 를 흔히 법선벡터(normal vector)라고 부를 수 있습니다.

   

여기서 T는 1의 크기를 가지고. T(s) 와 T (s+ds)의 차는 방향만 다르므로 N(s)는 radian 단위로 T의 s에 대한 방향 변화의 정보를가집니다. 즉 곡률에 해당하는 정보르 가지고 있지요(곡률이라고는 하지 않았습니다.)

   

실제로 사용되는 곡률이란 단어는 이 방향 변화의 방향(오목이냐 볼록이냐)를 정의 하고 있지 않습니다.

   

그 크기(절대값)만을 일컫는 말입니다.

   

그러므로 정리하면 법선방향의 단위벡터 (주법선벡터 principal normal vector라고합니다.)

   

와 그 크기인 곡률의 곱이 여기서 표현한 N벡터가 됩니다.

   

(지금부터 나오는 N벡터는 주법선 벡터이며 위에서 나온 법선벡터N과는 다릅니다!)

직관적으로 생각해 보았을때 T(s) 와 T (s+ds)의 차 인 N벡터는 ds가 0으로 수렴하는 아주 작은 값이므로 T(s)의 법선방향(직교)을 가질것을 생각해 낼 수도 있습니다.

   

이 때 그 크기(곡률)를 로 로 표현하고, 주법선벡터를 N으로 표현하여서 이런 식이 됩니다.

   

이때 dT 와 ds 의 관계를 고려할때 의 역수가 곡률 반경(ρ)이 될것을 확인할 수 있습니다.

   

   

이렇게 표현할수 있는 점의 궤적을 곡률에 대해 표현하면

인 것입니다. 곡률(κ) 을 구한것입니다.

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

또 곡률에 대해서 다른 시야로 접근 해서 속도벡터와 가속도벡터를 외적 한 결과로 부터 얻을수도

있습니다.

   

속도 벡터는 이미 본것과 같이

   

   

이고 가속도 벡터는 당연히 속도의 시간에 대한 미분

이 됩니다. 이 속도벡터에 가속도 벡터를 외적하면

 

이 식을 통하여 속도 벡터와 가속도 벡터를 정의 할수 있다면 그 궤적에서의 곡률도 알수있게 됩니다. 속도 벡터와 가속도 벡터의 정의 를 전 포스팅에 이미 했습니다!

   

   

이러한 전체 과정속에서 이제 점의 궤적에 따른 곡률을 알아 내는 법을 알아 내었습니다.

   

2013/01/19 - [기구학] - [기구학④-기구기구하고울어요]기구학 두번째 장: 점의 운동  <-----언제 임마 이런 분들은 클릭

   

그리고 사실 전체 과정에서 각 벡터에 대한 외적과 내적을 도약적게 사용하였기 때문에

   

시작할때 말한것과는 다르게 "평면" 에 국한되지 않고 "공간" 을 움직이는 점의 궤적에 대해서도

   

똑같이 적용가능합니다.

   

이상으로 곡률에 대한 설명을 간단히 마치겠습니다.

   

   

   

   

   

   

Ps. 열심히 공부해야겠습니다. 쉽게 폴어서 설명하기가 쉽지가 않네요;