[기구학⑦-기구기구하고울어요]점의 궤적과 곡률4절기구의 위치해석

4절기구 위치 해석 순서 입니다. 기구학에서

   

가장 진짜 제일 재미 있는 부분입니다.(수식 싫어하는 분들께는 좀..)

   

   

   

   

4절기구의 DOF는 여태 결과대로 1 입니다.

   

즉 하나의 변수만 안다면 전체링크의 자세를 예상할

수 있다는 것 입니다.

   

따라서 구동링크의 자세(각도) 만으로 나머지 링크의 자세(위치와 각도) 를 예상 할 수 있습니다.

   

그 것을 구하는 것이 4절기구의 위치 해석입니다.

   

   

먼저 4절 기구에 번호를 이렇게 매겨 둡니다. 1번링크는 ground 즉 고정된 링크 입니다.

   

여기에서 이제 A점 과 B점 의 위치를 표시해 보겠습니다.

   

A점의 위치는 O점으로 부터 2링크의 거리만큼 떨어져 있고, 각은 1링크로 부터

 

   

같은 원리로 3링크와 4링크, 즉 커플러와 종동절은 1링크와 평행한 선에 대해서

   

   

   

   

몇 가지 방법이 있습니다만 그 중 한가지 방법을 사용해보겠습니다.

   

일단 좌표계를 먼저 선정 해보겟습니다. O 점을 영점으로 두고 , 1링크의 방향을 x축으로 잡는

   

좌표계를 선정합니다.

   

먼저 A의 위치를 정의 해보겠습니다. 시작합니다.

   

   

를 곱하면 되고

   

   

를 곱하면 됩니다.

   

즉

   

(여기서 A라고 한 것은 joint A의 위치 입니다.)

   

입니다.

   

   

이제 B의 위치 입니다. 어찌보면 똑같은 방법으로 표현하여서

   

벡터 OA에 벡터 AB를 더해서

B의 위치 즉 OB를 구할 수도 있을 것 입니다.

   

하지만

   

즉 구동절의 자세로, 전체 4절기구의 자세를 예상하는 것입니다.)

   

그러므로 알고있는 다른 값을 활용 하여서 B를 정의 해보겠습니다.

   

기하학적으로 아주 쉽게 구하는 방법에는 작도법이 있습니다.

   

편하게 구하기 위해서 Auto CAD를 써보겠습니다.

   

작도법을 쓸 때는 이런 CAD프로그램은 좋은 도구입니다.

   

   

먼저 L2 과 L1 을 이렇게 그려주고

L3(커플러의 길이,녹색원)와 L4(종동절의 길이,적색원)에 해당하는 반지름을 가진 원을 이렇게 그려주면

현재 자세에서 이 기구의 불변값에 의해서 B점이 결정됩니다.

파란색 원들이 B점의 위치에 해당 하는 값 입니다.

Cad프로그램을 이용하면 이 점 두개중에서 원하는 점의 위치를 확인하면 됩니다.

(autoCAD 에서는 ID라는 명령어를 치고 각점을 클릭하시면 됩니다.)

   

제가 측정한 값에서는 x좌표는 231.2648, Y좌표는 148.3937 으로 나왔습니다.

   

대략적으로 막 그렸더니 깔끔한 값은 아니네요.

   

   

여기서 이 접점의 위치를 구하는 방법은 고등학교 1학년? 혹은 중학교 과정인 두 원의 접점을 구하는 방법을 사용하시면 됩니다.

   

먼저 우리는 A점의 위치를 구해놓았기 때문에 녹색원의 중심점을 알고 있습니다.

   

   

그리고 좌표계의 정의를 1번 링크의 방향을 X축으로 잡아 두었기 때문에

   

C점의 위치도 알고 있습니다.

   

   

그에 해당하는 각 원의 방정식은

   

과

   

   

이고 약간 조작해주면 두 파란색점을 구할 수 있습니다. 별로 재미는 없지만 한번 다해보겠습니다.

   

별다른 꼼수 없습니다. 그냥 구합니다.

   

너무 재미가 그리 있는 부분은 아니라서 관심있는 분만 보시라고 접어 두겠습니다

   

[클릭]

   

먼저 B점의 위치를 표현

인걸 알고 있고 편의상 다른 형식으로 정리해보겠습니다.

   

   

   

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그리고 향후 계산이 꽤나 복잡하고 귀찮아 지기때문에 계산중 정리하기보다 미리 정리해둘것이

A점과 C점 사이의 관계 입니다.

A점과 C점 사이의 x 변위 를 X , y변위를 Y로 일단 정해 두겠습니다.

먼저 C점을 정의하고

X,Y는 결과적으로

   

이부분은 그냥 계산과정의 간소화를 위한 정의를 해두는 것으로 그냥 넘어가주시면 됩니다.

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이제 B점에 대해 정리해둔식

를

 

에 넣어 주어야 하는데 사실 이식은 아까

   

로 한번 보여 드렸습니다. 이것은 C점값 C=( L1 , 0 ) 을 집어 넣은 것으로

아까 정의해둔

를 적용 시켜 계산 하기위에

를 사용 하여 계산해보겠습니다. 똑같은 식인데 표현만 다른겁니다.

   

   

붉은색 식의 x,y 값에 B의 x점, y점을 적용시켜봅시다.

   

를 넣어주면

이 되고,

   

   

로 정리 하면

이고 전개합니다.

적당히 정리하면

   

   

삼각함수 공식을 써서 또 조작을 해주면

   

   

여기서 또 정의 두 개를 집어넣어서 단순화 시켜서 정리하겠습니다

   

   

   

   

   

   

   

   

   

   

정의 하에서

[닫기]

   

를 구할 수 있습니다.

   

   

   

   

   

   

아니 뭐.. 대체 이걸 어디다 써먹으라는 거야? 그냥 cad로 그리고말지 이런 복잡한식으로 뭘 하라고

라고 생각 할 수도 있겠습니다.

   

분명 식만 가지고는 어떤 4절기구의 위치를 예상하기는 글러 먹었습니다.

   

   

   

하지만 여기에 excel이나 matlab, mathmatica 같은 프로그램이 적용되기만 하면 길이 4개

   

L1,L2,L3,L4를 정해주었을 때

를 변화시키면서 기구가 어떻게 움직일지 시뮬레이션이 가능해 집니다.

   

도저히 직접 만들어서 돌려보지 않고서는 예상할 수 없던 기구의 움직임을

   

엑셀에 몇 개의 값을 써주고 해당하는 식에 적용시킨후

   

Sorting 해주면 기구의 움직임을 시뮬레이션 할 수 있는 것입니다.

   

   

속도, 가속도 까지 쉽게! 구할 수 있게 됩니다.

   

   

   

   

   

써놓고보니 블로그로 보기에는 적절한 내용이 아닌거 같기도 하네요. 별 대단한건 없고

복잡하기만하니… 그래서 다음에는 더 쉬운 방법을 소개해드리겠습니다!