이전 포스팅을 안보고 오셧다면 처음부터!
2013/01/02 - [기구학] - [기구학①-기구기구하고울어요]메커니즘?기구학!
포스팅하기에 앞서 "기구학" 포스팅의 내용 중 많은 내용이 단국대학교 기계공학과 김태정교수님의 수업 노트에서 나온 내용임을 미리 밝히고. 혹 포스팅 내용에서 발생되는 오류는 완전히,이유불문하고,전적으로 제가 제대로 공부를 안한 탓에 생기는 오류임을 확실히 해둡니다. 인터넷에 감히 교수님의 수업내용을 포스팅하면서 저의 모자람으로 교수님께 누가 안되었으면 합니다. 노트에서 발췌한 내용은 최대한 표시 하려고 합니다.
저번 포스팅에 이어서
자유도? 자세를 결정하는데 필요한 변수의 수!
시작하겠습니다.
저번에 마지막에 던져 놓았던 문제를 다시 한번 보겠습니다.
출처 :단국대학교 기계공학과 김태정교수님 기구설계학 노트
위에 있는 그림의 '기구' 가 작동 할것인가? 혹은 아닐 것인가?
공학자는 정답을 찾는 계산도 중요하지만 중요한것은 답을 얼마나, 빨리, 신뢰성 있게 알아내느냐 가 아닌가 합니다.
그래서! 수식을 집어 넣고 계산하기 전에 일단 만들어 봤습니다.
여기서 구속 조건은 표시는 안 했지만 제대로 넣어 주었습니다. (디테일은… 흠..음…. )
여기에서 하나의 링크에 움직임을 주었을 때 기구가 동작이 가능한가를 확인해보았더니
역시 움직입니다. 일단 움직인다! 라는것을 확인 하였습니다.
결국 주먹구구로 실제로 만들어서 돌려본 겁니다.
헤헤 된다. 헤헤
여기서 끝내면 재미 없어요.
추파춥스는 맛있어요.
제가 수중에 800 원이 있다면 저는 편의점에서 추파춥스를 두 개 살수있는 선택권이 있지요.
하지만 옆에 같이다니던 친구에게 1000원을 빗져 있었다면 제가 슬수있는돈은 -200원으로 추파춥스를 사기는 커녕
그냥 손가락만 빨아야 합니다.
음??
"기구" 에서 "링크" 가 운동하는가 할 수 없는가 (추파춥스를 살수있는가)
숫자로 판별, 이해 하기 위해서 자유도 (degree of freedom)(현금,추파춥스의 가격)
라는 개념을 적용 시킬 필요가 있습니다.
자유도는 공간상 가질 수 있는 운동의 가짓수 라고 이해하시면 좋습니다.
예를 들어 기찻길을 따라 달리는 기차는 기찻길의 방향으로 운동하는 것 이외의 운동을 할 수 없기 때문에
1자유도를 가진다고 생각 하면 됩니다.
기찻길 위의 기차에 대해서 실 예를 들어보면
Naver지도
Naver지도에서 부산 1호선 지하철 루트를 표시하였습니다.
이 루트에서 지하철이 신평역에서 출발하여서 500m 진행한 위치를 표시하려고 하면
표시된 도착 위치인걸 알 수 있습니다.
기차의 위치를 표현하는데 500m 라는 하나의 정보만 필요한 것 입니다.
제일 처음 보셧 던 사절기구
를 보시면 하나의 링크를 회전시키는 운동만을 할 수 있기 때문에 1자유도를 가지는 것을 볼 수 있구요.
자유도의 개념을 실용적으로 이해하기 위해서 그냥 아무런 구속(핀 조인트 등) 이 없는 링크의 자유도를 표시해 보겠습니다.
출처- 내 마우스
그림상 붉은색 별이 링크(혹은 강체,rigid body)를 표현한 것이고
각 화살표가 움직임을 표현한 것입니다.
이 링크의 자세(위치,각도) 를 표현 하기 위해서는
그림상의 x, y, θ 가 필요합니다. 세가지 이죠.
따라서 평면상에서 아무런 구속조건이 없는 링크의 자유도는 3이 됩니다.
(여기서 평면상이라고 표현한것은 잊지마세요!)
이 링크를 관통하는 핀으로 링크를 "구속" 한다면 링크는 x축 운동이나 y축 운동을 할 수 없게 되고, 회전만 가능하게 될겁니다. 회전한 각도 θ 만 안다면 이 링크의 "자세" 를 알 수 있는 거지요.
그러므로 자유도가 1이 됩니다.
길게~ 표현한 이 상황을 정리하면
(평명상에서 구속없는) 링크의 자유도는 3이다.(세가지 변수를 알아야 링크의 자세를 표현할 수 있다.)
핀으로 링크를 구속하면 자유도는 -2 가 된다.(두 변수를 고려할 필요가 없어진다.)
이때 링크와 핀을 포함하는 시스템 전체의 자유도를 표현하면
자유도=3*링크-2*핀구속
이렇게 됩니다.
하지만 4절기구를 예로 자유도를 계산해 보겠습니다.
자유도=3*4(링크수)-2*4(4절기구의 핀 조인트수) =4
어?
왜이러는 걸까요?
이미 힌트는 위에서 다 나왔습니다.
사실은
4절기구가 1자유도를 가지기 위한 숨겨진 조건은
하나의 링크는 바닥에 고정되어 있다.
라는 것입니다.
당연히 고정되어 있는 링크는 자유도가 0 이므로 고정된 링크 하나를 제외하여야합니다.
이를 위에서 언급한 식에 적용을 시켜서 일반화하면
자유도(Degree Of Freedom;이하 DOF)= 3X( 링크의수 - 1 ) - 2X(핀 조인트의 수)
-그루블러의 식(Gruebler's formula)
4절링크에 적용 시켜보면
DOF= 3(4-1)-2(4) =1
이렇게 1자유도가 나옵니다.
이를 이전 포스팅에서 냈던 문제
출처 :단국대학교 기계공학과 김태정교수님 기구설계학 노트
에 적용 시켜볼까요.
여기에서는 4절기구처럼 고정되어 있는 링크가 표시되지 않았기 때문에 링크수에서 -1 을 할 필요가 없겠죠?
(꼭 공식에 대입해보고 싶으면 고정의대상 즉 땅(ground)를 링크 1로 보시면됩니다. 지구는 1개짜리 링크예요!)
검은색숫자가 링크의 번호를 표시한 것 이고 붉은색 숫자가 핀 조인트의 번호를 표시한 것 입니다.
DOF = 3 x 7 - ( 2 x 10 ) = 1
위 아담스(adams-student edition) 을 활용한 시뮬레이션에서 확인한것과 마찬가지로
1 자유도 입니다!
이렇게 어떤 기구가 얼마의 자유도를 가지게 되는지 쉽게 알수 있습니다!
실생활중에 링크 형태의 기구들이 있으면 이것들만 기억해 두었다가 확인해 보세요!
링크식 페달펌프, 락킹 렌치 같은 것들은 1자유도를 가지고
'구조물' 이라면 0 이하의 자유도를 가지는것을 확인 할수 있을겁니다.
대부분 구조물은 변형에 저항하기 위하여 "과구속" 되어 음의 자유도를 가집니다.
추가적으로
위의 포스팅에서 계속 언급했던 "핀 구속" 외에도 , 미끄럼, 회전 등의 구속에 대해서도
이 구속조건이 자유도를 얼마나 제한하는가? 에 대해서 고려한다면 자유도를 -1만 구속하는 "고차대우" 의 경우도
있을수 있습니다.
예를 들자면 이런 경우 입니다.
출처 :단국대학교 기계공학과 김태정교수님 기구설계학 노트
대표적으로 미끄럼 구속 이라고 이름 지어 보겠습니다. 저러한 구속은 구속에 의하여 두 링크의 표면의 접촉위치는 결정하게 되지만 서로 접촉하는 링크의 각도, 상대 링크의 접촉점 을 결정하지 못합니다. 따라서 자유도를 1만 제한하는
"고차 대우" 라고 볼 수 있습니다.
다른 예로
출처 :단국대학교 기계공학과 김태정교수님 기구설계학 노트
링크의 끝부분이 구속되어 있는 경우입니다.
저 "미끄럼 구속" 역시 바닥면과 링크의 어느 한부분이 접촉한다. 라는 조건만을 만족시키면 되기 때문에
접촉 각, 접촉위치를 결정하지 않으므로 -1자유도 구속이 되어 고차대우 입니다.
(사실 링크의 관점으로보면 위 두그림은 같은 종류의 링크입니다.)
따라서 위의 그루블러의 식을 확장하면
DOF=3*(링크의수-1)-2*(핀조인트의수)-1*(고차대우의 수)
더 깔끔하게 표현하면
가 됩니다. 이걸 쿠츠바흐의 식(Kutzbach formula) 이라고 합니다.
쿠츠바흐의 식이라면 다시또 적용할수있는 실생활속의 기구는 더욱 늘어납니다!
이러한 간단하면서도 파워풀한 식이 있긴 하지만 그렇다고해서 모~든 기구가 이것만으로 표현이 가능한 것은 또 아닙니다.
다음 포스팅에서는 예외적인 경우를 약간 언급해보겠습니다.
Ps
(사실 이전 포스팅에서 예외적인 경우도 요번에 언급한다고 했는데.. 이번포스팅이 생각보다 좀 길어 져서요 ㅠㅠ 저도힘들고 다음 포스팅에서 하겟습니다.)
Ps 하나더
기구학을 시작은 했는데 앞으로 나올 내용은 점점더 수학적인 내용이 많아져서 고민입니다. 포스팅이 재미 있어야 할텐데..
'기구학' 카테고리의 다른 글
| [기구학⑥-기구기구하고울어요]뜬금없이 다시 4절기구 (0) | 2017.05.25 |
|---|---|
| [기구학⑤-기구기구하고울어요]점의 궤적과 곡률 (1) | 2017.05.25 |
| [기구학④-기구기구하고울어요]기구학 두번째 장: 점의 운동 (1) | 2017.05.25 |
| [기구학③-기구기구하고울어요]쿠츠바흐의 한계 (0) | 2017.05.25 |
| [기구학①-기구기구하고울어요]메커니즘?기구학! (0) | 2017.05.25 |